ТАУ ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ: Модели "вход-выход"

1) Дифференциальные уравнения типовых звеньев и систем

Постановка задачи математического описания линейной САУ

Типовые задачи ТАУ (анализ и синтез) для своего решения требуют математического описания САУ. Создание такого описания, т.е. построение математической модели системы (ММ), обычно проводят при помощи декомпозиции САУ. Систему разделяют на элементы и составляют уравнения, описывающие их поведение (движение) – изменение состояния во времени. Уравнения составляют на основе законов сохранения энергии или вещества. При этом САУ идеализируют (линеаризация, стационаризация). Результирующими уравнениями обычно являются обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с постоянными коэффициентами. Кроме дифференциальных уравнений в качестве ММ применяют передаточные функции (ПФ), которые позволяют представлять ММ системы в виде алгоритмических структурных схем. К ММ относят также временне и частотные характеристики САУ, которые совместно с ПФ составляют классический математический аппарат ТАУ, позволяющий анализировать и синтезировать САУ без интегрирования уравнений.

Понятие динамического звена

Для расчета САУ их разбивают на динамические звенья (ДЗ). Под ДЗ понимают ММ некоторой части САУ любого физического вида и конструктивного оформления. Элементы САУ, различные по физической природе, конструкции, мощности и т.д., но описываемые линейными дифференциальными уравнениями одного и того же вида, являются одинаковыми ДЗ. У каждого ДЗ может быть лишь одна входная и одна выходная величины (рисунок 2.1).
ДЗ обладают свойством однонаправленности. Сложные звенья разделяют на простейшие составные части – типовые ДЗ. Под типовым ДЗ понимают звено, порядок дифференциального уравнения которого не превышает второго.

Дифференциальное уравнение динамического звена

В общем случае ДЗ описывают следующим ОДУ

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины ДЗ;

a2 – a0; b1 – b0 – коэффициенты (постоянные) уравнения.

Более употребительны в ТАУ иные формы записи этого ДУ. Обычно уравнение (2.1) записывают в символическом виде

Для решения типовых задач ТАУ дифференциальное уравнение ДЗ (2.1) преобразуют по Лапласу (или Карсону-Хевисайду) заменой оператора дифференцирования p комплексной величиной преобразования Лапласа s = jw. Целью названного преобразования является замена операций дифференцирования и интегрирования оригиналов функций y(t) и x(t) алгебраическими действиями над их изображениями Y(s) и X(s), поскольку уравнение (2.1) преобразуется в алгебраическое

При нулевых начальных условиях p º s.

Если свободные члены a0 = 1 и b0 = 1, уравнение (2.3) приобретает нормированный вид .

Такую форму записи ДЗ или САУ называют первой стандартной символической (операторной) формой записи. Уравнения (2.1) - (2.4) относят к уравнениям типа "вход - выход".

Дифференциальное уравнение САУ

В общем случае замкнутую САУ описывают неоднородным ДУ n-го порядка:

где x(t) – входная (управляющая или возмущающая) величина;

y(t) – выходная (управляемая) величина;

an, an-1, …, a0; bm, bm-1, …, b0 – постоянные коэффициенты (m < n),

или в операторном виде

К дифференцирующим звеньям (Д-звено) относят:

– идеальное Д-звено с ПФ

– реальное Д-звено с ПФ .

В таблице 2.1 представлены дифференциальные уравнения и передаточные функции типовых ДЗ.

Типовые соединения динамических звеньев

Сложные элементы и САУ состоят из нескольких соединенных между собой звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются:

– последовательное;

– параллельное;

– встречно-параллельное (охват звена обратной связью).

При последовательном соединении ДЗ (рисунок 2.4) выходная величина каждого из звеньев y1 и y2, кроме последнего звена, является входной величиной последующего звена.

Эквивалентная передаточная функция последовательно соединенных l звеньев равна произведению ПФ этих звеньев: .

При параллельном соединении (рисунок 2.5) на вход всех звеньев поступает одна и та же входная величина x(t), а их выходные величины y1, y2 и y3 суммируются.

Эквивалентная передаточная функция параллельно соединенных l звеньев равна сумме их ПФ:

Третье типовое соединение (рисунок 2.6), называемое встречно-параллельным, приводит к образованию замкнутой системы и состоит из двух звеньев. Звено с ПФ Wп(s) образует прямую цепь (связь) передачи сигналов, а звено с ПФ Wос(s) осуществляет ОС.

Эквивалентная ПФ встречно-параллельного соединения звеньев определяется по формуле замыкания

В выражении (2.29) знак "+" соответствует отрицательной ОС, а знак "–" соответствует положительной ОС.

Структурная схема одноконтурной САУ

Алгоритмической структурной схемой САУ называют графическое представление ММ системы в соединении ДЗ, в котором каждой математической операции преобразования сигнала соответствует типовое звено, условно обозначаемое прямоугольником с указанием входных и выходных величин, а так же ПФ этого ДЗ.

Структурная схема типовой одноконтурной САУ показана на рисунке 2.7. На рисунке 2.8 изображена эквивалентная схема типовой САУ.

Очевидно, что эквивалентная схема проще, так как содержит меньше звеньев. Подобного упрощения достигают методом свертки (сущность метода см. п. 2.1.2.6). ПФ звеньев обеих схем связаны согласно (2.27) простейшим образом:

Структурная схема показывает строение САУ, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину. По существу, структурная схема представляет собой графическую форму ММ САУ, что придает ей наглядность в изображении связей между ДЗ. Это позволяет легко находить по структурной схеме ПФ относительно любых входов и выходов. Для составления структурной схемы САУ необходимо иметь ее функциональную схему (см. п. 1.4) и дифференциальные уравнения или ПФ всех элементов системы.

Передаточные функции САУ

Структурная схема любой одноконтурной САР с любым количеством последовательно или параллельно соединенных звеньев, охваченных местными ОС, может быть сведена к типовой структурной схеме, показанной на рисунке 2.8. Основную ПФ, связывающую изображение выходной величины Y(s) с изображением задающего воздействия G(s), обозначают Ф(s): ,

Для следящих систем характерно равенство Wyg(s) = W(s). Структурная схема таких САУ показана на рисунке 2.9, а саму САУ называют системой с единичной ОС.

Основная ПФ названной САУ имеет вид .

Таким образом, основная ПФ Ф(s) определяется по ПФ разомкнутой системы W(s).

Основная ПФ системы Ф(s) характеризует передачу САУ задающего воздействия g(t), его воспроизведение управляемой величиной y(t). Воспроизведение тем лучше, чем ближе Ф(s) к идеальному значению

ПФ разомкнутой САУ определяют по преобразованной структурной схеме САУ (рисунок 2.10). При этом контур регулирования полагают разомкнутым около сумматора и считают все возмущающие воздействия равными нулю (z = 0). ПФ разомкнутой типовой САУ определяется по формуле (2.27):

ПФ разомкнутой САУ W(s) характеризует собственные динамические свойства САУ и позволяет определить ее устойчивость, а так же выбрать корректирующее устройство для улучшения свойств САУ.

В общем случае ПФ разомкнутой САУ представляет собой дробно-рациональную функцию оператора s:

Реальные САУ всегда имеют m < n и коэффициент (свободный член) . Многочлен A(s) называют характеристическим полиномом разомкнутой САУ, а уравнение A(s) = 0 представляет собой характеристическое уравнение разомкнутой САУ

ПФ разомкнутой САУ обычно записывают в стандартной форме, при которой полиномы B(s) и A(s) имеют свободные члены и , т.е.

Величину v называют порядком астатизма САУ относительно задающего воздействия g(t).

Статические САУ характеризуются v = 0 и имеют ПФ вида .

Астатические САУ характеризуются астатизмом v ¹ 0. В случае v = 1 разомкнутая система имеет ПФ вида

так как свободный член полинома знаменателя A(s) равен нулю (a0 = 0). Замкнутую САУ при этом называют астатической САУ первого порядка. Такая система содержит в прямой цепи одно И-звено. САУ с двумя И‑звеньями (v = 2) называют астатической САУ второго порядка.

Для определения влияния возмущения z(t) на управляемую величину y(t) структурную схему типовой САУ (рисунок 2.8) следует представить в виде, показанном на рисунке 2.11.

При этом звено с ПФ W2(s) образует собой прямую цепь, звенья с ПФ W1(s) и W3(s) – обратную связь. Тогда в соответствии с (2.29) ПФ замкнутой САУ по возмущению

что позволяет "свернуть" структурную схему САУ (рисунок 2.12) и изобразить САУ звеном с эквивалентной ПФ (2.40).

ПФ Fz(s) показывает влияние возмущения z(t) на управляемую величину y(t). Возмущение отклоняет её от заданного значения g(t) и уменьшает точность воспроизведения задающего воздействия. Это отрицательное влияние возмущения тем меньше, чем ближе Fz(s) к идеальному значению Fz(s) = 0.

При одновременном приложении к линейной САУ управляющего g(t) и возмущающего z(t) воздействий в соответствии с принципом наложения изображение регулируемой величины определяется следующим образом:

Y(s) = Ф(s)G(s) + Фz(s)Z(s).

При исследовании САУ часто интересуются значением ошибки регулирования (1.1):

ПФ замкнутой САУ по ошибке определяется по следующей формуле:

Структурная схема системы с ПФ Fe(s) вида (2.41) показана на рисунке 2.13. При этом считают, все внешние воздействия z(t) = 0, исключая задающее воздействие g(t).

Передаточная функция Fe(s), как и F(s), характеризует воспроизведение управляемой величиной y(t) задающего воздействия g(t) (отработку задания). Воспроизведение тем лучше, чем ближе Fe(s) к идеальному значению Fe(s) = 0.

ПФ САУ по ошибке (2.41) позволяет рассчитать значение статической ошибки системы по следующей формуле:

Часто статическую ошибку принимают за оценку точности статической САУ.

Эквивалентные преобразования структурных схем

Структурную схему любой сложности путем последовательных преобразований можно привести к эквивалентной одноконтурной (рисунок 2.14). Условием эквивалентности является сохранение в процессе преобразований зависимости основных величин y(t), e(t) и yос(t) от внешних воздействий z(t).

Эквивалентные преобразования структурных схем осуществляют по соответствующим правилам в следующей последовательности. Прежде всего каждое имеющееся в схеме типовое соединение звенев заменяют эквивалентным звеном. Затем целесообразно выполнить перенос точек разветвления (узлов) в соответствии с рисунком 2.15 и сумматоров в соответствии с рисунком 2.16, чтобы в преобразованной таким образом схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять должны быть заменены эквивалентными звеньями. Узел может быть перенесен назад через звено W1(s) или вперед через звено W2(s). В первом случае в ответвление включают звено с ПФ W1(s), во втором – звено с ПФ 1/W2(s). Подобным образом поступают при переносе сумматора.

Таким образом, указанные правила позволяют преобразовать сложные структурные схемы многоконтурных САУ с перекрещивающимися связями, а также с несколькими входами и выходами. Преобразование структурных схем позволяет определить ПФ САУ любой сложности.

Типовые воздействия

Работа многих САУ сопровождается резкими изменениями внешних воздействий (например, уменьшением или увеличением нагрузки и т.п.). Важно оценить поведение САУ в таких ситуациях, т.е. выяснить, насколько значительным будет отклонение от нормального режима работы и насколько быстро и точно оно будет устранено регулятором. Для того, чтобы сравнить поведение при этом различных САУ и элементов, рассматривают строго определенное, нормированное, изменение воздействий. Таким типовым изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до единицы. Для математической записи используют единичную ступенчатую функцию (функцию Хевисайда):

Другим часто встречающимся изменением внешних воздействий являются их кратковременные, но значимые всплески, импульсы. Например, ударная нагрузка на двигатель, порывы ветра, действующие на летательный аппарат и т.п. Нормированным (стандартным) импульсным воздействием считают единичный импульс, т.е. импульс, произведение длительности которого на его амплитуду равно единице.

Предел, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю T ® 0, есть единичная импульсная функция (d-функция или функция Дирака):

Приблизительно d-функцию можно представить как очень узкий прямоугольный импульс длительности T и амплитуды около начала координат (рисунок 2.18), так что его площадь (интеграл) равна единице:.

Это равенство описывает основное свойство d-функции. Кроме того, считают, что d-функция равна первой производной единичной ступенчатой функции

Рассмотренные воздействия относят к динамическим, так как с их помощью анализируют динамические свойства САУ (см. п. 2.14).

Свойства элементов и САУ оценивают также в установившихся режимах. Для этого к системе или элементу прикладывают периодическое воздействие. Наиболее часто используют гармоническое воздействие вида

x(t) = Xmsinwt.

Такой выбор обусловлен тем, что любое реальное периодическое воздействие может быть представлено рядом гармонических составляющих (рядом Фурье):.

Реакцию линейной САУ на реальное воздействие определяют методом наложения (суперпозиции).

ВременнÏе характеристики динамических звеньев и САУ

К временнÏм (динамическим) характеристикам САР относят переходную и импульсную характеристики.

Переходной характеристикой (функцией) h(t) называют функцию, описывающую аналитически или графически изменение выходной величины звена или САУ y(t), вызванное единичным ступенчатым воздействием x(t) = 1(t) на входе звена или САУ при нулевых начальных условиях. Другими словами h(t) есть реакция звена или САУ на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходные характеристики и функции типовых ДЗ представлены в таблице 2.2.

Импульсной характеристикой (функцией) или весовой характеристикой звена или САУ w(t) называют характеристику, описывающую реакцию ДЗ или САУ на единичное импульсное воздействие на входе звена или САУ при нулевых начальных условиях. Импульсные характеристики и функции типовых ДЗ представлены в таблице 2.3

Частотные характеристики

В тех случаях, когда протекающие процессы в САУ изучены слабо, и вывод ДУ, описывающих эти САУ, затруднен, в основу математического моделирования кладут не уравнения движения, а так называемые частотные характеристики (ЧХ) систем.

Частотные характеристики динамических звеньев

Если на вход стационарного ДЗ (рисунок 2.1) действует гармонический сигнал то на выходе ДЗ установится также гармонической сигнал той же угловой частоты w, но с измененными амплитудой Ym и начальной фазой y2 (рисунок 2.19). Эти изменения зависят как от свойств самого ДЗ, так и от угловой частоты входного воздействия.

Отношение амплитуд выходного и входного сигналов

разность их фаз

j(w) = y2 - y1

являются функциями частоты. Их называют соответственно амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазово-частотной характеристикой (ФЧХ) звена.

Эти характеристики показывают, что линейное ДЗ изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала: в установившемся режиме амплитуда уменьшается или увеличивается в A раз, а фазовый сдвиг уменьшается или увеличивается на j градусов (радиан) при изменении угловой частоты w. Частотные характеристики зависят от свойств ДЗ, но не зависят от амплитуды и фазы входного воздействия. АЧХ может служить для оценки фильтрующих свойств, а ФЧХ – инерционных свойств ДЗ.

Частотные характеристики всякого элемента САУ связаны с его ПФ W(s). Подставляя в выражение ПФ вместо оператора Лапласа s мнимую величину jw, получают комплексную функцию частоты W(jw), которую называют частотной передаточной функцией. Эта функция при любой частоте w является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательном виде

Следовательно, модуль и аргумент частотной ПФ определяют соответственно АЧХ и ФЧХ звена.

Частотная ПФ, как комплексная функция, может быть также представлена и в алгебраическом виде

где U(w); V(w) – функции частоты, называемые соответственно вещественной (действительной) и мнимой ЧХ.

Они не имеют конкретного физического смысла, но используются в расчетах и определяются по формулам:

U(w) = ReW(jw); (2.56)

V(w) = ImW(jw). (2.57)

Частотные характеристики связаны между собой известными соотношениями (рисунок 2.20):

Если частотная ПФ задана в алгебраическом виде (2.55), преобразование ее к показательному виду (2.52) осуществляют по формулам (2.58). Соотношения (2.59) позволяют осуществить при необходимости обратное преобразование.

Кроме аналитического описания ЧХ изображают графически в декартовых координатах. Построение АЧХ и ФЧХ осуществляют по формулам (2.53) и (2.54). На рисунках 2.21 и 2.22 изображены в самом общем виде соответственно АЧХ и ФЧХ обыкновенных инерционных ДЗ или САУ. В таблице 2.4 приведены АЧХ и ФЧХ типовых ДЗ.

К обычным ЧХ относят амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой годограф частотной ПФ W(jw), т.е. геометрическое место концов вектора W(jw) при изменении частоты w от 0 до ±¥. Эту характеристику строят на комплексной плоскости в полярных (A, w) или декартовых (U, V) координатах конца вектора W(jw) по формулам (2.52), (2.53) или (2.55), (2.56).

Типичный годограф W(jw) обыкновенного инерционного ДЗ показан на рисунке 2.20 в диапазоне частот -¥ < w < +¥. Рабочая ветвь годографа соответствует физически реализуемым положительным частотам w ³ 0. Фазовые углы j(w) отсчитывают от положительной действительной полуоси (+1) против движения часовой стрелки. Инерционные звенья характеризуются отрицательными фазовыми углами j(w) < 0. АФЧХ (годографы) типовых ДЗ приведены в таблице 2.4

Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазово-частотная (ЛФЧХ) характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так на средних и высоких частотах.

Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды при одинаковой наглядности изменения больших и малых амплитуд.

В качестве примера на рисунках 2.23 и 2.24 показаны АЧХ одного и того же А-звена первого порядка (k = 1 и T = 10) в диапазонах частот, отличающихся только на один порядок. По второму графику практически не возможно судить о свойствах исследуемого ДЗ в области малых частот w < 0,4.

Для сравнения на рисунке 2.25 изображена ЛАЧХ указанного А-звена в диапазоне частот 0 < w < 4. Очевидно, что ЧХ, построенная в логарифмических координатах, точно передает характер исследуемой зависимости на всех частотах. Кроме того, значительные непрямолинейные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями – асимптотами. В этом случае ЛАЧХ изображают отрезками прямых (асимптот) и называют асимптотической или приближенной ЛАЧХ (рисунок 2.26).

Асимптоты имеют отрицательный и положительный наклон, кратный 20 дБ на декаду. Для построения асимптотической ЛАЧХ проводят простые вычисления, так как любую асимптоту можно построить по двум точкам. При построении ЛАЧХ (рисунок 2.25) по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие lgW, где – относительная частота. Однако около этих отметок указывают частоты w. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называют декадой (), а отрезок, соответствующий изменению частоты в два раза, – октавой (). Декада и октава – равномерные единицы на оси абсцисс. Нуль оси обсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg0 = -¥. Поэтому при построении ЛАЧХ выбирают такой отрезок оси абсцисс, который охватывает требуемый диапазон частот (w1, w2), например, полосу пропускания (0, wп). В качестве "базовой" частоты w2 удобно в этом случае принять частоту среза, т.е. w2 = wср (рисунок 2.21). По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе в децибеллах (дБ) логарифмическую амплитуду

L(w) = 20lgA(w). (2.60)

Децибелл является единицей логарифмической относительной величины. Изменение отношения двух амплитуд в 10 раз () соответствует изменению усиления на 20 дБ (см. таблицу 2.5).

Таблица 2.5
A(w)	0,01	0,10	1,0	1,12	1,26	1,41	1,80	3,60	10	100
L(w), дБ	- 40	- 20	0	1	2	3	5	10	20	40

ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ. По оси ординат ЛФЧХ откладывают в равномерном масштабе угол фазового сдвига j. Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы можно было сопоставлять с изменениями амплитуды.

Точные и приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых ДЗ приведены в таблице 2.6.

В англоязычной технической литературе и современных математических системах (MATLAB, Maple и др.) ЛАЧХ и ЛФЧХ называют диаграммами Боде (Bode diagramms).

Понятие об идентификации

Идентификацией динамической системы называют получение или уточнение по экспериментальным данным ММ этой системы. ММ может быть выражена ДУ, ПФ и т.п. Получение ММ в таком виде составляет задачу непараметрической идентификации. Параметры модели являются результатом параметрической идентификации.

Классическими методами непараметрической идентификации линейных САУ или ее элементов являются:

– метод временнÏх характеристик;

– метод частотных характеристик;

– метод корреляционных функций.

К прямым методам параметрической идентификации относят:

– метод наименьших квадратов;

– метод сумм произведений и др.

Выбор того или иного метода идентификации и оценки параметров ММ зависит от априорной информации об объекте исследования и требованиях, предъявляемых к ММ. На практике чаще используют метод временнÏх характеристик как более простой в организации эксперимента. Если эксперимент проводят для получения переходной характеристики h(t), метод называют методом переходных характеристик (функций). Традиционно объединяют метод переходных характеристик с регрессионным анализом, основу которого составляет метод наименьших квадратов (МНК). Созданная таким образом ММ является регрессионной моделью, качество которой гарантированно статистически.

Сущность метода переходных характеристик заключается в следующем. До начала эксперимента изучают объект идентификации и разрабатывают программу его исследования, а также оценивают возможность считать объект линейным, стационарным, с сосредоточенными параметрами. Названные допущения позволяют описать динамические свойства исследуемого объекта ОДУ (2.5) или ПФ. Если объектом идентификации является элемент САУ, то по его физическим свойствам предварительно выбирают ММ из числа типовых ДЗ (см. п. 2.1.2.2). Затем проводят активный эксперимент. Для этого сначала приводят исследуемый объект в исходное установившееся состояние. После этого ступенчато изменяют входное воздействие на Dx и регистрируют соответствующее изменение во времени выходной величины Dy = f(t). Эту зависимость называют разгонной характеристикой (см. п. 3.2) и обозначают y(t). По достижении объектом нового установившегося состояния прекращают эксперимент. Полученную экспериментально разгонную характеристику y(t) аппроксимируют теоретической переходной функцией h(t). Эта функция является решением ОДУ, принятого в качестве ММ объекта идентификации. Аппроксимирующую переходную функцию h(t) выбирают первоначально из переходных функций типовых ДЗ (см. таблицу 2.2) при условии наибольшего соответствия характеристик y(t) и h(t) друг другу. Типовое ДЗ, переходная функция которого выбрана в качестве аппроксимирующей, таким образом, принимается в качестве ММ исследуемого объекта. Определяется порядок ОДУ, решением которого является аппроксимирующая характеристика h(t). Уравнение характеристики h(t) записывают в явном виде (см. таблицу 2.1). В этом уравнении неизвестными остаются только коэффициенты. Их находят решением обратной задачи: по известным значениям функции h(t) и соответствующим им значениям аргумента (времени t) рассчитывают неизвестные коэффициенты. Эта задача является оптимизационной в том смысле, что искомые коэффициенты должны обеспечить минимум расхождения между характеристиками h(t) и y(t). В качестве критерия расхождения чаще всего принимают минимум суммы квадратов ошибок по всей совокупности измерений (принцип Лежандра):

Этот метод называют методом наименьших квадратов (МНК). С его помощью строят уравнение регрессии h(t), которым аппроксимируют разгонную характеристику y(t). Идентификация будет полной, если будет доказана адекватность принятой ММ. Названную модель считают адекватной, если расхождение между характеристиками h(t) и y(t) является незначительным в статистическом смысле. Оценку адекватности уравнения регрессии в целом проводят по F-критерию Фишера. При положительном результате проверки уравнения регрессии оценивают значимость его коэффициентов по t-критерию Стьюдента. Одновременно коэффициенты уравнения регрессии являются коэффициентами ММ.

При идентификации типовых элементов САУ методом переходных характеристик аппроксимирующие характеристики h(t) большей частью получают в виде прямых линий (рисунок 2.27) или экспонент (рисунок 2.28), а также их совокупности. Переходные характеристики П- и И-звеньев являются линейными (см. таблицу 2.1). Экспонента – переходная характеристика А-звена первого порядка, а также – часть характеристики реального Д-звена и т.д.

Методом наименьших квадратов можно построить линейную регрессию y на x

и нелинейную

В рассматриваемом случае отклик y – выходная величина, фактор x – время t. При ручном сборе данных эксперимента наблюдения заносят в таблицу 2.7 или изображают графически.

Таблица 2.7
y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
t	t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7

На графике каждому наблюдению соответствует точка с координатами yi и ti (рисунок 2.27). В совокупности они образуют облако точек. В отличии от таблицы расположение точек облака указывает на вид искомой функциональной зависимости h(t). Если точки расположены так, как показано на рисунке 2.27, то экспериментальную зависимость аппроксимируют прямой линией h(t). Таким образом, результаты эксперимента yi(ti) могут быть аналитически описаны уравнением линейной регрессии

h(t) = a + bt.

Свободный член a и угловой коэффициент b уравнения линейной регрессии рассчитывают по следующим формулам

где и – средние значения соответственно отклика и фактора;

Qxy и Qx – промежуточные величины, рассчитываемые по формулам

где n – количество наблюдений.

Рассчитывают также несмещенную оценку дисперсии теоретического распределения наблюдений yi:

и остаточную дисперсию

Эти величины служат для оценки статистической значимости полученного уравнения регрессии по F-критерию Фишера

В случае положительной оценки адекватности уравнения регрессии в целом необходимо оценить также значимость коэффициентов регрессии с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого предварительно рассчитывают величины:
В противном случае гипотеза о значимости коэффициентов a и b отклоняется. К такой ситуации приводит использование идеального И‑звена с передаточной функцией (2.20) в качестве ММ какого-либо элемента САУ (например, исполнительного механизма). Идентификация такого элемента заключается в определении коэффициента передачи K или постоянной времени T = 1/K И-звена. Результаты испытания элемента показаны на рисунке 2.27 в виде облака точек yi(ti). Обращает на себя внимание первая точка y1 = 0 и t1 = 0. Но линия регрессии может начинаться и в другой точке. Это означает, что по расчету свободный член регрессии отличен от нуля (a ¹ 0). Другими словами, проверяется гипотеза о значимости в статистическом смысле коэффициентов регрессии a и b. Для проверки этой гипотезы рассчитывают и и сравнивают с критическим значением . Считать свободный член a незначимым можно лишь при условии, что . В этом случае его можно исключить из уравнения регрессии, которое принимает вид

h(t) = bt.

Сравнивая уравнение построенной регрессии h(t) = bt с переходной функцией идеального И-звена h(t) = Kt, принимают коэффициент передачи И-звена K равным угловому коэффициенту регрессии b. При этом идентификацию элемента считают законченной.

Определение временных характеристик

САУ находится под влиянием изменяющихся внешних воздействий: управляющих (задающих) и возмущающих. Каждое такое изменение создает в замкнутой системе рассогласование e(t), вызывающее действие ИМ и движение РО (рисунок 1.11). Поэтому важно исследовать динамические процессы в САУ и их динамические свойства. При этом принято рассматривать динамические процессы, вызванные типовыми внешними воздействиями (см. п. 2.1.3). Поэтому при анализе и синтезе САУ обычно требуется определить временнÏе характеристики (см. п. 2.1.4).

ВременнÏе характеристики определяют экспериментально (см. п. 2.1.6) или аналитически. Аналитически временнÏе характеристики определяют решением ДУ одним из следующих методов:

– классическим;

– операционным;

– расчетным (одним из численных методов).

Классический метод

Решением или интегралом ДУ (2.5) называют всякую функцию y(t), которая будучи подставленной в это уравнение, превращает его в тождество.

Решить (проинтегрировать) ДУ, значит:

1) найти его общее решение (интеграл), если начальные условия не заданы;

2) или найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Отыскание решения (интеграла) ДУ, удовлетворяющего начальным условиям, называют задачей Коши. Простейшая задача Коши состоит в том, что требуется найти функцию y(t), которая удовлетворяет ОДУ первого порядка

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка (2.61) описывает динамику А-звена первого порядка, идеальных И-звена и Д‑звена. Это уравнение относят к уравнениям с разделенными переменными

dy = f(t)dt.

При нулевых НУ и ступенчатом изменении входной величины f(t) = 1(t) общий интеграл y(t) описывает переходную характеристику ДЗ, т.е. y(t) = h(t).

В частности, А-звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением (см. таблицу 2.1):

Переходную характеристику этого звена h(t) можно найти интегрированием его дифференциального уравнения при нулевых НУ y(0) = 0 и x(t) = 1(t) следующим образом:

Следовательно, постоянная интегрирования . Таким образом, получают окончательно переходную характеристику А-звена первого порядка.

Операционный метод

Операционное исчисление предлагает "экономный" метод решения ОДУ. В основе его лежит формальное преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях названных уравнений, заключающееся в замене оператора дифференцирования p комплексной величиной s и функций времени f(t) их изображениями F(s). Операционный (операторный) метод позволяет решить дифференциальное уравнение (2.5) алгебраически без интегрирования. Операционный метод напоминает логарифмирование, которое умножение и деление заменяет простым сложением и вычитанием.

Решают ОДУ звена или САУ (2.1) и (2.5) в следующем порядке:

1) ДУ преобразуют почленно по Лапласу с учетом НУ (нулевых – при построении переходной характеристики);

2) полученное алгебраическое (операторное) уравнение решают относительно изображения Y(s) искомой функции времени;

3) найденное изображение Y(s) подвергают обратному преобразованию Лапласа для определения оригинала, т.е. искомой функции времени y(t).

Преобразование ОДУ (2.5) по Лапласу при нулевых НУ сводится к замене оператора дифференцирования p комплексной величиной s, а функций времени x(t) и y(t) их изображениями соответственно X(s) и Y(s). Выполнив это преобразование, решают полученное алгебраическое уравнение относительно Y(s):

Изображение решения ОДУ, как видно, представляет собой дробно-рациональную функцию. Обращение функций Y(s) для отыскания оригиналов y(t) теоретически необходимо осуществлять по формуле обратного преобразования Лапласа

Однако в инженерной практике эту формулу не используют. Отыскание оригиналов y(t) выполняют по таблицам операционных соответствий, вычисленных по указанной формуле для различных изображений (см. таблицу 2.8). Если исследуемое изображение Y(s) отсутствует в таблице, следует воспользоваться теоремой свертывания или теоремой разложения /6, 27, 51/.

Среди названных способов наибольшей простотой отличается первый способ, основным инструментом которого служит таблица операционных соответствий. Порядок действий при этом следующий.

Во-первых, ОДУ, описывающее, например, А-звено первого порядка

почленно преобразуют по Лапласу, т.е. заменяют оригиналы функций времени , y(t) и x(t) их изображениями sY(s), Y(s) и X(s). При этом получают алгебраическое уравнение

TsY(s) + Y(s) = KX(s),

в котором неизвестным является изображение Y(s) выходной величины y(t).

Если необходимо построить переходную характеристику звена h(t), то в последнем выражении следует указать изображение X(s) входного сигнала x(t), который в данном случае x(t) = 1(t). Изображение единичной ступенчатой функции согласно таблице 2.8 . Если оригинал входного воздействия Kx(t), то его изображение согласно свойству линейности есть KX(s). Следовательно,

В-третьих, по полученному изображению Y(s) в таблице 2.8 отыскивают соответствующий ему оригинал переходной функции А-звена.

Наряду с преобразованием Лапласа динамические характеристики ДЗ и САУ строят с помощью преобразования Карсона-Хевисайда /6/. Удобство последнего преобразования заключается в том, что оригиналу ступенчатой функции x(t) = A×1(t) соответствует изображение j(s) = A. То есть изображение ступенчатой функции равно постоянной величине. Поэтому во многих случаях преобразование Карсона-Хевисайда сливается с операторной записью ОДУ.

Численные методы

Задача Коши может быть также решена численными методами. Под численным интегрированием понимают нахождение интеграла методами приближенного численного решения ОДУ и их систем, основанными на пошаговом продвижении к частному решению дифференциальных уравнений или системы. Их использование быстрее приводит к получению результата с заданной точностью, чем использование точных методов.

Предварительно ММ САУ или ДЗ необходимо представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. привести к нормальной форме Коши.

не требует даже введения новых переменных для приведения его к форме Коши. Достаточно разрешить это уравнение относительно производной, чтобы получить желаемую форму .

Новые переменные вводят, начиная с уравнения второго порядка (n = 2), которое описывает, например, А-звено второго порядка (таблица 2.1):
Для решения задачи Коши необходимо задать НУ. Если задача Коши сводится к построению переходной характеристики САУ h(t), то НУ принимаются нулевыми в виде равенств (2.62). В последнем уравнении системы (2.68) необходимо указать также, что x(t) = 1(t). Для непосредственного решения поставленной задачи требуется выбрать метод численного интегрирования системы ОДУ первого порядка (2.68). Самым распространенным является метод Рунге-Кутты четвертого порядка с постоянным шагом (h = const). Он отличается высокой точностью (погрешность R ~ h6) и достаточной устойчивостью решения. Библиотеки прикладных программ современного программного обеспечения (MATLAB, Maple, MathCAD, Mathematica и др.) содержат встроенные функции численного интегрирования систем ОДУ первого порядка названным методом и его различными модификациями.

Сравнительная характеристика методов решения задачи Коши

В инженерной практике традиционно сравнивают методы расчетов по их трудоемкости, быстроте, возможности получения точного решения y(t).

Классический и операционный методы приводят к точному решению задачи Коши. Под точным решением понимают аналитическую зависимость выходной величины от времени, т.е. явную функцию y(t). Коэффициентами этой функции являются параметры ДЗ или САУ (коэффициенты передачи, постоянные времени). В рассмотренном ранее примере А-звена первого порядка названная функция

позволяет без каких-либо расчетов оценить влияние коэффициента усиления K и постоянной времени T звена на переходный процесс.

Напротив, численные методы приводят к приближенному решению y(t), которое представляется графически или таблично. При численном анализе влияния параметров ДЗ на его динамику необходимо всякий раз искать новое решение y(t) и делать выводы, сравнивая множество графиков y1(t), y2(t), …, y¥(t). Выводы будут тем глубже, чем больше проведено расчетов.

С другой стороны, численные методы с использованием компьютера в случае однократного решения задачи Коши часто значительно быстрее приводят к искомому решению y(t), чем классический и операционный методы. Кроме того, численные методы позволяют приближенно решать многие из задач, точные решения которых аналитическими методами найдены быть не могут.

Наконец, наибольшей трудоемкостью отличается классический, наименьшей – численный методы. Кроме того, классический и операционный методы требуют от исследователя специальной математической подготовки. Для решения задачи Коши численными методами необходимо уметь представить ММ в форме Коши, а также владеть программным обеспечением решения названной задачи.

В инженерной практике цифрового моделирования САУ часто приходится сталкиваться с проблемой выбора метода решения задачи Коши из библиотеки численных методов того или иного программного обеспечения. Выбор метода производят, руководствуясь справочными данными по численным методам.

Электронный учебник по ТАУ (теория автоматического управления)