ТАУ предлагает два основных подхода к анализу и синтезу линейных САУ. Первый базируется на структурных схемах и ПФ отдельных элементов и всей системы. В связи с этим его часто называют операторно-структурным. Другой его особенностью является использование физических величин в качестве переменных. Подробно этот подход рассмотрен при изучении ММ типа "вход – выход" (см. п. 2.1).
Второй подход отличается описанием САУ системой ОДУ первого порядка, составленных относительно переменных состояния. Переменные состояния при таком описании САУ аналогичны обобщенным координатам, используемым в теоретической механике. Сам подход к исследованию САУ получил название метода пространства состояний или метода переменных состояния.
1) входные переменные или входные (управляющие) воздействия um;
2) выходные переменные yp, характеризующие реакцию САУ на входные воздействия;
3) переменные (координаты) состояния xn, характеризующие динамическое поведение САУ.
Взаимосвязь названных переменных поясняют схемой САУ, на которой систему изображают в виде "черного ящика" в соответствии с рисунком 2.29.
Отдельные части САУ характеризуют ПФ W1(s) и W2(s). Как следует из схемы, переменные состояния xn являются промежуточными величинами. Их относят к содержимому "черного ящика". Следовательно, они скрыты от прямого наблюдения. Кроме того, переменные состояния не всегда являются физическими величинами. Иногда для удобства математического моделирования САУ целенаправленно отказываются от физического содержания переменных состояния. Поэтому в общем случае xn(t) являются абстрактными переменными. Однако они должны однозначно выражаться через физические величины yp(t).
В общем случае исследуемую САУ считают многомерной (рисунок 2.29). Для упрощения работы с многомерными величинами их представляют в векторно-матричном виде. Так, совокупность входных переменных представляют в виде вектора входа совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода а совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния
Как было отмечено, векторно-матричные уравнения (2.82) описывают многомерную САУ. Эта же совокупность уравнений служит ММ одномерной САУ, т.е. системы с одним входом и одним выходом. При использовании МПС такие САУ часто называют системами со скалярным входом и выходом, так как входная и выходная величины являются скалярными. Уравнения состояния и выхода одномерной системы имеют вид
Таким образом, в результате приведения уравнений к канонической форме более простую структуру принимают две из трех матриц: A и B (управляемые формы) или A и C (наблюдаемые формы). Управляемые канонические формы используют при синтезе регулятора, а наблюдаемые канонические формы – при синтезе наблюдателя /23/.
Матрица входа B рассматриваемого канонического представления также имеет специальный вид. Вследствие скалярного входного воздействия матрица B представляет собой вектор-столбец, элементы которого также не требуется вычислять.
Полученная ММ системы управления может быть изображена в виде структурной схемы, представленной на рисунке 2.31.
Принятые переменные состояния являются выходными сигналами интеграторов.
Первую управляемую каноническую форму
называют также канонической формой дуальной фазовой переменной
/20/.
Матрица входа B рассматриваемой канонической формы также имеет специальный вид. Вследствие скалярного входного воздействия матрица B представляет собой вектор-столбец. Его элементы также не требуется вычислять. К матрице C таких специальных требований не предъявляют. В рассматриваемом случае C = [1 0 0 … 0].
Рассматриваемое УКП отличается также
переменными состояния. В качестве последних принимают выходную
(управляемую) величину y(t) и (n – 1)
ее производных
Полученная ММ системы управления может
быть изображена в виде структурной схемы, представленной на
рисунке 2.32.
В более общем случае, когда вектор выхода C = [ c1 c2 … cn ], структурная схема САУ приобретает каноническую форму с общим выходом, как показано на рисунке 2.33. Такую САУ описывают уравнениями состояния
где l1, l2, …, ln – собственные числа матрицы A, которые рассчитывают как корни характеристического уравнения САУ (2.8).
Как видно, матрица коэффициентов A является диагональной. Это свойство матрицы упрощает вычисления, так как матрица Жордана имеет наибольшее количество нулевых элементов. Матрицы входа и выхода в рассматриваемом представлении являются векторами соответственно и C = [c1 c2 … cn], а D – скаляром вида D = d0.
Следовательно, одномерную САУ описывают
уравнениями состояния и выхода вида
Структурная схема САУ, соответствующая
уравнениям (2.96), изображена на рисунке 2.36.